Олімпіадна підготовка: Алгебра
Комплексний практичний тренажер для підготовки до районного, міського, обласного та фінального Всеукраїнського етапів олімпіад. Розв'язуй авторські завдання журі, вивчай нестандартні стратегії та заробляй максимальні бали для своєї школи!
Олімпіадний тренажер: Алгебра
Повний банк авторських завдань II (районного), III (обласного) та IV (Всеукраїнського) етапів із покроковими підказками, офіційними еталонними розв'язками та шкалою балів журі.
Завдання №1. Цілочисельні розв'язки квадратичної структури
⚡ Секретна зброя олімпійця: 4 правила вищого балу
Стратегії та прийоми, якими володіють призери олімпіад і які не пояснюють у звичайних підручниках
⚡ Метод розкладання на множники в Діофантових рівняннях
Зведіть рівняння до вигляду A(x, y) · B(x, y) = C. Розкладіть C на прості множники та переберіть усі можливі дільники з урахуванням знаків.
⚡ Нерівність Коші для n змінних
Середнє арифметичне невід'ємних чисел завжди не менше за їх середнє геометричне. Знак рівності досягається лише тоді, коли всі змінні рівні між собою.
⚡ Принцип Діріхле в комбінаториці
Якщо (n + 1) предметів розкласти по n ящиках, то знайдеться хоча б один ящик, де лежить не менше двох предметів. Ключ — правильно визначити, що є 'кроликами', а що 'клітками'.
⚡ Метод залишків за модулем
Аналізуйте рівняння за модулями 3, 4, 8 або 9. Квадрат будь-якого цілого числа при діленні на 3 дає лише залишок 0 або 1; при діленні на 4 — лише 0 або 1; на 8 — 0, 1 або 4!
📜 Олімпіадний теоретичний арсенал 9 класу
Теореми, формули та закони підвищеної складності, що є ключем до розв'язання завдань обласного туру
📜 Лема Тіту (форма Енгеля)
∑ (xᵢ² / aᵢ) ≥ (∑ xᵢ)² / (∑ aᵢ) для додатних aᵢ. Дозволяє миттєво доводити складні дробові нерівності типу Несбітта.
📜 Властивості цілої частини ⌊x⌋
x = ⌊x⌋ + {x}, де 0 ≤ {x} < 1. ⌊x + n⌋ = ⌊x⌋ + n для n ∈ ℤ.
📜 Формула суми кубів і розклад
a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca). Якщо a + b + c = 0, то a³ + b³ + c³ = 3abc!