Числові нерівності. Доведення нерівностей
👩🏫Методичні акценти для вчителя • План проведення уроку на 45 хвНУШ▼
🎯 Очікувані результати навчання (НУШ):
Формування предметних компетентностей за темою «Числові нерівності. Доведення нерівностей», розвиток критичного мислення, вміння аналізувати причинно-наслідкові зв'язки та застосовувати набуті знання на практиці.
💬 Провокативне питання для старту:
Використайте блок «Гачок (Hook)» нижче для 2-хвилинної розминки з класом перед поясненням нового матеріалу.
⏱️ Рекомендований таймінг 45-хвилинного уроку:
Тема: § 1. Числові нерівності. Доведення нерівностей. Д/з: опрацювати матеріал уроку та завдання «У зошит» на платформі EZZ-SCHOOL BOOKS.
⚡ Фронтальне бліц-опитування класу на початку уроку (2 хв):
- Що є ключовим поняттям теми «Числові нерівності. Доведення нерівностей» і чому воно важливе?
- Де у повсякденному житті, науці чи IT ми стикаємося з цим явищем/алгоритмом?
- Яка найпоширеніша помилка виникає під час першого знайомства з матеріалом?
🏠 Диференційоване домашнє завдання:
- Базовий рівень (обов'язковий): опрацювати конспект і блок «У зошит».
- Достатній рівень: скласти власну шпаргалку та пройти MiniCheck.
- Високий / STEM: виконати симуляцію у лабораторії та скласти BossQuiz на 100 XP.
📊 Критерії формувального оцінювання:
Твоя місія на цей урок
Натискай на цілі у міру їх опанування:
- 1Засвоїти строге алгебраїчне означення числових нерівностей через знак різниці (a - b).Опанувати ➔
- 2Зрозуміти геометричний зміст порівняння чисел на координатній прямій.Опанувати ➔
- 3Опанувати метод різниці для доведення класичних нерівностей зі змінними.Опанувати ➔
- 4Познайомитися з фундаментальною нерівністю Коші між середнім арифметичним і геометричним.Опанувати ➔
⚖️ Як математики насправді порівнюють незрівнянне?
Порівняти 5 і 3 легко. Але як довести, що для будь-якого числа x вираз (x - 2)² завжди не менший за нуль? Або що прямокутник з фіксованим периметром має найбільшу площу саме тоді, коли він є квадратом? Секрет полягає в одному універсальному прийомі: скласти різницю лівої та правої частини!
1Строге алгебраїчне означення числових нерівностей
У повсякденному житті ми інтуїтивно розуміємо, що 7 більше за 3, а -2 менше за 0. Проте в науці порівняння будь-яких двох дійсних чисел a і b ґрунтується на єдиному фундаментальному критерії — знаку їхньої різниці (a - b):
Число a більше за b (a > b)
Різниця додатна. На координатній прямій точка a лежить строго правіше від точки b.
Приклад: 9 > 4, оскільки 9 - 4 = 5 > 0.
Число a менше за b (a < b)
Різниця від’ємна. На координатній прямій точка a лежить строго лівіше від точки b.
Приклад: -5 < -1, оскільки -5 - (-1) = -4 < 0.
Число a дорівнює b (a = b)
Різниця дорівнює нулю. Точки a та b збігаються на координатній осі в одній позиції.
Приклад: 8/2 = 4, оскільки 4 - 4 = 0.
• Строгі нерівності: знаки > (більше) або < (менше). Виключають рівність величин.
• Нестрогі нерівності: знаки ≥ (більше або дорівнює) або ≤ (менше або дорівнює). Нерівність a ≥ b означає, що a > b або a = b (достатньо виконання хоча б однієї умови!).
Різницеве порівняння, властивості множення та Коші
a > b, якщо різниця a - b > 0. Число a < b, якщо a - b < 0.Геометричне розміщення на координатній прямій:
Точка a лежить правіше від b (a > b)
2Метод різниці та виділення повного квадрата
Довести нерівність зі змінними — це означає показати, що вона перетворюється на правильну числову нерівність при будь-яких допустимих значеннях змінних.
Алгоритм доведення методом різниці (A ≥ B):
- Утворити різницю лівої та правої частин:
Різниця = Ліва частина - Права частина. - Виконати тотожні алгебраїчні перетворення (розкрити дужки, звести подібні доданки, розкласти на множники або виділити повний квадрат).
- Оцінити знак отриманого результату. Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа завжди невід'ємний:
(вираз)² ≥ 0, сума квадратів також невід'ємна! - Зробити висновок: оскільки різниця ≥ 0, то початкова нерівність справджується для всіх значень змінних.
Довести, що при будь-яких дійсних значеннях x справджується нерівність: (x - 3)² > x(x - 6).
Складемо різницю: (x - 3)² - x(x - 6)
= (x² - 6x + 9) - (x² - 6x)
= x² - 6x + 9 - x² + 6x = 9.
Оскільки числове значення різниці дорівнює 9 > 0 (додатне стале число при будь-якому x), то нерівність доведено!
Різниця: a² + b² - 2ab = (a - b)²
Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа (a - b)² ≥ 0, то нерівність a² + b² ≥ 2ab справджується для будь-яких дійсних чисел a і b. Рівність досягається лише за умови a = b.
3Фундаментальна теорема: Нерівність Коші
Теорема Коші (між середнім арифметичним і геометричним):
Для будь-яких невід'ємних чисел a ≥ 0 та b ≥ 0 їхнє середнє арифметичне не менше за їхнє середнє геометричне:
Причому знак рівності (a + b) / 2 = √(ab) справджується тоді й лише тоді, коли a = b.
Важливий наслідок (Сума взаємно обернених чисел):
Якщо a > 0 (додатне число), то:
Доведення: За теоремою Коші (a + 1/a) / 2 ≥ √(a · 1/a) = √1 = 1, звідки a + 1/a ≥ 2.
Геометричний зміст:
Серед усіх прямокутників із заданою фіксованою площею найменший периметр має квадрат. А серед усіх прямокутників із заданим периметром найбільшу площу має квадрат!
📊 Опорна таблиця: Порівняння чисел та основні методи доведення нерівностей
| Метод доведення / Означення | Аналітична умова / Правило | Типовий зразок застосування |
|---|---|---|
| Означення різниці: a > b | a - b > 0 | Різниця чисел строго додатна: 7 > 4, бо 7 - 4 = 3 > 0 |
| Означення різниці: a < b | a - b < 0 | Різниця чисел від’ємна: -5 < -2, бо -5 - (-2) = -3 < 0 |
| Означення рівності: a = b | a - b = 0 | Різниця дорівнює нулю |
| Метод виділення повного квадрата | (x - y)² ≥ 0 для будь-яких x, y | Доведення: a² + b² ≥ 2ab <=> (a - b)² ≥ 0 |
| Нерівність Коші для двох чисел | (a + b)/2 ≥ √(ab) (a, b ≥ 0) | Середнє арифметичне не менше за середнє геометричне |
| Оцінка суми обернених чисел | x + 1/x ≥ 2 (x > 0) або x + 1/x ≤ -2 (x < 0) | Доведення через (√x - 1/√x)² ≥ 0 |
За яким означенням вважається, що число a є більшим за число b?
У зошит (за підручником)
Вправи з підручника до цієї теми уроку. Виконуй у робочий зошит або за комп'ютером за вказівкою вчителя:
Порівняння чисел за різницею a - b
💡 Підказка від нас: Скласти різницю a - b. Якщо a - b > 0, то a > b; якщо a - b < 0, то a < b.
Доведення нерівностей різницевим методом
💡 Підказка від нас: Довести, що при будь-якому x справджується нерівність (x - 3)² > x(x - 6). Розкрити дужки та знайти знак різниці лівої і правої частин.
Шпаргалка уроку (головне в один екран)
Усе найважливіше для повторення перед уроком або самостійною роботою
Строге означення: число a більше за b, якщо їхня різниця додатна.
Нестрога нерівність: a більше за b або дорівнює b.
Будь-який квадрат дійсного числа невід'ємний: (x - y)² ≥ 0.
(a + b) / 2.
√(a · b) для невід'ємних чисел.
Бос-тест: Числові нерівності та методи доведення
Питання 1 з 3 • Завдай удару по босу теми