Основні властивості числових нерівностей
👩🏫Методичні акценти для вчителя • План проведення уроку на 45 хвНУШ▼
🎯 Очікувані результати навчання (НУШ):
Формування предметних компетентностей за темою «Основні властивості числових нерівностей», розвиток критичного мислення, вміння аналізувати причинно-наслідкові зв'язки та застосовувати набуті знання на практиці.
💬 Провокативне питання для старту:
Використайте блок «Гачок (Hook)» нижче для 2-хвилинної розминки з класом перед поясненням нового матеріалу.
⏱️ Рекомендований таймінг 45-хвилинного уроку:
Тема: § 2. Основні властивості числових нерівностей. Д/з: опрацювати матеріал уроку та завдання «У зошит» на платформі EZZ-SCHOOL BOOKS.
⚡ Фронтальне бліц-опитування класу на початку уроку (2 хв):
- Що є ключовим поняттям теми «Основні властивості числових нерівностей» і чому воно важливе?
- Де у повсякденному житті, науці чи IT ми стикаємося з цим явищем/алгоритмом?
- Яка найпоширеніша помилка виникає під час першого знайомства з матеріалом?
🏠 Диференційоване домашнє завдання:
- Базовий рівень (обов'язковий): опрацювати конспект і блок «У зошит».
- Достатній рівень: скласти власну шпаргалку та пройти MiniCheck.
- Високий / STEM: виконати симуляцію у лабораторії та скласти BossQuiz на 100 XP.
📊 Критерії формувального оцінювання:
Твоя місія на цей урок
Натискай на цілі у міру їх опанування:
- 1Засвоїти транзитивність нерівностей: якщо a > b і b > c, то a > c.Опанувати ➔
- 2Навчитися додавати та віднімати одне й те саме число до обох частин нерівності.Опанувати ➔
- 3Запам'ятати залізне правило зміни знака при множенні чи діленні на від'ємне число.Опанувати ➔
- 4Опанувати властивість обернених дробів: якщо a > b > 0, то 1/a < 1/b.Опанувати ➔
⚠️ Найпідступніша пастка у всій шкільній алгебрі!
Рівняння пробачають багато помилок: якщо 2x = 6, то x = 3; якщо -2x = -6, то x = 3. Але спробуйте зробити так само з нерівністю -2x > -6. Якщо не змінити знак, ви отримаєте рівно протилежну й абсолютно хибну відповідь! Чому мінус змушує знак нерівності крутитися на 180 градусів?
1П'ять фундаментальних властивостей числових нерівностей
Властивості нерівностей є математичними законами, що регулюють еквівалентні перетворення. Їхнє строге знання гарантує безпомилкове розв'язування лінійних та квадратних нерівностей.
Транзитивність нерівностей
Доведення: Складемо різницю: a - c = (a - b) + (b - c). Оскільки a - b > 0 і b - c > 0, їхня сума додатна: a - c > 0, отже a > c.
Додавання числа (Перенесення доданків)
Наслідок: Будь-який доданок можна переносити з однієї частини нерівності в іншу, змінивши його знак на протилежний (як у рівняннях!).
Множення / ділення на додатне число (c > 0)
Знак нерівності не змінюється (зберігається). Приклад: якщо x > 4, то 3x > 12.
Множення / ділення на від'ємне число (c < 0)
Критичне правило: Знак нерівності обов'язково змінюється на протилежний! Приклад: якщо -2x > 6, ділимо на -2 ⟹ x < -3.
Різницеве порівняння, властивості множення та Коші
a > b, якщо різниця a - b > 0. Число a < b, якщо a - b < 0.Геометричне розміщення на координатній прямій:
Точка a лежить правіше від b (a > b)
2Обернені числа та практичне оцінювання виразів
Теорема про обернені числа:
Якщо числа a і b додатні та a > b > 0, то для обернених величин справджується нерівність протилежного знака:
Приклад: Оскільки 5 > 2 > 0, то 1/5 < 1/2 (0,2 < 0,5). Чим більший знаменник дробу при однаковому чисельнику, тим меншим є сам дріб.
Нехай відомо, що 2 < x < 5. Оцінити значення виразів:
2 · 3 < 3x < 5 · 3 ⟹ 6 < 3x < 15.Віднімемо 1 від усіх частин:
6 - 1 < 3x - 1 < 15 - 1 ⟹ 5 < 3x - 1 < 14.2 · (-4) > -4x > 5 · (-4) ⟹ -8 > -4x > -20.Запишемо у звичному порядку від меншого до більшого:
-20 < -4x < -8.Додамо 3 до всіх частин:
-20 + 3 < -4x + 3 < -8 + 3 ⟹ -17 < -4x + 3 < -5.2 < x < 5: 1/5 < 1/x < 1/2.Помножимо на 10 > 0:
10/5 < 10/x < 10/2 ⟹ 2 < 10/x < 5.📊 Опорна таблиця: Властивості числових нерівностей
| Властивість | Символьний запис | Практичний коментар та пастки |
|---|---|---|
| Транзитивність | Якщо a > b і b > c, то a > c | Очевидний ланцюг упорядкування чисел на осі |
| Додавання числа до обох частин | Якщо a > b, то a + c > b + c | Знак нерівності НЕ змінюється при додаванні будь-якого числа |
| Множення на додатне число (c > 0) | Якщо a > b і c > 0, то ac > bc | Знак нерівності зберігається: 4 > 2 => 4·3 > 2·3 |
| Множення на від’ємне число (c < 0) | Якщо a > b і c < 0, то ac < bc | ЗНАК ЗМІНЮЄТЬСЯ НА ПРОТИЛЕЖНИЙ: 5 > 3 => 5·(-2) < 3·(-2) |
| Перехід до обернених чисел | Якщо a > b > 0, то 1/a < 1/b | Знак нерівності змінюється для додатних чисел: 4 > 2 => 1/4 < 1/2 |
Якщо дано правильну нерівність x > 5, який вигляд матиме результат після множення обох частин на -3?
У зошит (за підручником)
Вправи з підручника до цієї теми уроку. Виконуй у робочий зошит або за комп'ютером за вказівкою вчителя:
Застосування основних властивостей нерівностей
💡 Підказка від нас: Відомо, що a > b. Порівняти вирази: a + 5 і b + 5; -2a і -2b; a/4 і b/4.
Оцінювання значень протилежних величин та часток
💡 Підказка від нас: Якщо 2 < x < 5, оцінити значення виразів -x та 1/x.
Шпаргалка уроку (головне в один екран)
Усе найважливіше для повторення перед уроком або самостійною роботою
Якщо a > b і b > c, то a > c.
Додавання до обох частин будь-якого числа не змінює знак.
Множення на додатне число зберігає напрямок знака.
Множення на від’ємне число обертає напрямок знака нерівності.
Обертання для додатних чисел: більше число дає меншу частку.
Бос-тест: Властивості числових нерівностей
Питання 1 з 3 • Завдай удару по босу теми