Почленне додавання і множення числових нерівностей
👩🏫Методичні акценти для вчителя • План проведення уроку на 45 хвНУШ▼
🎯 Очікувані результати навчання (НУШ):
Формування предметних компетентностей за темою «Почленне додавання і множення числових нерівностей», розвиток критичного мислення, вміння аналізувати причинно-наслідкові зв'язки та застосовувати набуті знання на практиці.
💬 Провокативне питання для старту:
Використайте блок «Гачок (Hook)» нижче для 2-хвилинної розминки з класом перед поясненням нового матеріалу.
⏱️ Рекомендований таймінг 45-хвилинного уроку:
Тема: § 3. Почленне додавання і множення числових нерівностей. Д/з: опрацювати матеріал уроку та завдання «У зошит» на платформі EZZ-SCHOOL BOOKS.
⚡ Фронтальне бліц-опитування класу на початку уроку (2 хв):
- Що є ключовим поняттям теми «Почленне додавання і множення числових нерівностей» і чому воно важливе?
- Де у повсякденному житті, науці чи IT ми стикаємося з цим явищем/алгоритмом?
- Яка найпоширеніша помилка виникає під час першого знайомства з матеріалом?
🏠 Диференційоване домашнє завдання:
- Базовий рівень (обов'язковий): опрацювати конспект і блок «У зошит».
- Достатній рівень: скласти власну шпаргалку та пройти MiniCheck.
- Високий / STEM: виконати симуляцію у лабораторії та скласти BossQuiz на 100 XP.
📊 Критерії формувального оцінювання:
Твоя місія на цей урок
Натискай на цілі у міру їх опанування:
- 1Засвоїти теорему про почленне додавання нерівностей однакового знака.Опанувати ➔
- 2Опанувати теорему про почленне множення нерівностей з додатними членами.Опанувати ➔
- 3Навчитися оцінювати суму, різницю, добуток та частку числових виразів.Опанувати ➔
- 4Застосовувати оцінювання нерівностей до реальних геометричних і фізичних формул (периметр, площа, шлях).Опанувати ➔
📐 Як інженери розраховують допуски й похибки?
Жоден вимірювальний прилад не дає абсолютно точного числа: довжина деталі лежить у межах від 10.1 до 10.3 см, а ширина — від 4.8 до 5.0 см. Якою ж гарантовано буде площа цієї деталі? У точній інженерії, будівництві мостів та програмуванні для цього використовують правила почленного додавання і множення нерівностей!
1Почленне додавання числових нерівностей
У шкільній практиці часто виникає потреба об'єднати результати двох незалежних експериментів або оцінити суму кількох величин.
Теорема про почленне додавання:
Якщо почленно додати правильні нерівності однакового знака, то отримаємо правильну нерівність того самого знака:
Доведення: За теоремою про додавання числа маємо: a + c > b + c (додали c до обох частин першої нерівності) та b + c > b + d (додали b до обох частин другої нерівності). За транзитивністю звідси випливає, що a + c > b + d.
Не можна просто відняти одну нерівність від іншої стовпчиком! Наприклад: 10 > 3 і 8 > 1. Якщо відняти: 10 - 8 = 2, а 3 - 1 = 2, отримаємо хибне 2 > 2!
Як правильно оцінювати різницю (x - y): Різницю записують як суму x + (-y). Спочатку оцінюють -y (помноживши нерівність для y на -1 зі зміною знака), а потім почленно додають до нерівності для x!
Різницеве порівняння, властивості множення та Коші
a > b, якщо різниця a - b > 0. Число a < b, якщо a - b < 0.Геометричне розміщення на координатній прямій:
Точка a лежить правіше від b (a > b)
2Почленне множення та піднесення до степеня
Теорема про почленне множення додатних нерівностей:
Якщо почленно перемножити правильні нерівності однакового знака, ліві й праві частини яких є додатними числами, то отримаємо правильну нерівність:
Геометрична ілюстрація: Якщо довжина a і ширина c одного прямокутника більші за довжину b і ширину d іншого, то площа першого прямокутника (ac) гарантовано більша за площу другого (bd).
Наслідок 1: Піднесення до степеня n
Якщо a > b > 0 і n ∈ ℕ (натуральне число), то:
Приклад: Оскільки 5 > 3 > 0, то 5³ > 3³ (125 > 27).
Наслідок 2: Добування кореня n-го степеня
Якщо a > b > 0, то для квадратних коренів справджується:
Приклад: Оскільки 25 > 16 > 0, то √25 > √16 (5 > 4).
Оцінити периметр і площу прямокутника зі сторонами a і b, якщо відомо, що 3,1 < a < 3,5 та 4,2 < b < 4,4 (у сантиметрах).
1) Оцінка периметра P = 2(a + b):
Додамо нерівності: 3,1 + 4,2 < a + b < 3,5 + 4,4 ⟹ 7,3 < a + b < 7,9.
Помножимо на 2: 14,6 < 2(a + b) < 15,8 ⟹ 14,6 см < P < 15,8 см.
2) Оцінка площі S = a · b:
Помножимо почленно: 3,1 · 4,2 < a · b < 3,5 · 4,4 ⟹ 13,02 см² < S < 15,4 см².
📊 Опорна таблиця: Почленне додавання, множення та оцінювання виразів
| Операція над нерівностями | Правило та математичний запис | Приклад оцінювання |
|---|---|---|
| Почленне додавання однакових знаків | a > b і c > d => a + c > b + d | 2 < x < 5 та 3 < y < 7 => 5 < x + y < 12 |
| Почленне множення додатних нерівностей | a > b > 0 і c > d > 0 => ac > bd | 2 < x < 4 та 3 < y < 5 => 6 < xy < 20 |
| Піднесення до натурального степеня | a > b > 0 => aⁿ > bⁿ (n ∈ N) | 3 < x < 5 => 9 < x² < 25 |
| Оцінка різниці x - y | x - y = x + (-y); -d < -y < -c | Щоб оцінити різницю, спочатку оцініть -y, а потім додайте |
| Оцінка частки x / y | x / y = x · (1/y); 1/d < 1/y < 1/c | Оцініть обернене значення 1/y, а потім почленно помножте |
Дано оцінки: 3 < a < 5 та 4 < b < 9. Якою буде оцінка для суми a + b?
У зошит (за підручником)
Вправи з підручника до цієї теми уроку. Виконуй у робочий зошит або за комп'ютером за вказівкою вчителя:
Почленне додавання і множення числових нерівностей
💡 Підказка від нас: Додати почленно нерівності однакового знака; помножити почленно нерівності з додатними членами.
Оцінювання периметра та площі прямокутника
💡 Підказка від нас: Сторони прямокутника a і b задовольняють умови: 3 < a < 5 і 6 < b < 9. Оцінити периметр P = 2(a + b) та площу S = a · b.
Шпаргалка уроку (головне в один екран)
Усе найважливіше для повторення перед уроком або самостійною роботою
Якщо a > b і c > d, то a + c > b + d.
Якщо a > b > 0 і c > d > 0, то ac > bd.
Якщо a > b > 0, то aⁿ > bⁿ для будь-якого натурального n.
Знаходиться через суму: a + (-b).
Знаходиться через добуток: a · (1/b).
Бос-тест: Почленне додавання і множення нерівностей
Питання 1 з 3 • Завдай удару по босу теми