Нерівності зі змінними. Розв’язок нерівності
👩🏫Методичні акценти для вчителя • План проведення уроку на 45 хвНУШ▼
🎯 Очікувані результати навчання (НУШ):
Формування предметних компетентностей за темою «Нерівності зі змінними. Розв’язок нерівності», розвиток критичного мислення, вміння аналізувати причинно-наслідкові зв'язки та застосовувати набуті знання на практиці.
💬 Провокативне питання для старту:
Використайте блок «Гачок (Hook)» нижче для 2-хвилинної розминки з класом перед поясненням нового матеріалу.
⏱️ Рекомендований таймінг 45-хвилинного уроку:
Тема: § 4. Нерівності зі змінними. Розв’язок нерівності. Д/з: опрацювати матеріал уроку та завдання «У зошит» на платформі EZZ-SCHOOL BOOKS.
⚡ Фронтальне бліц-опитування класу на початку уроку (2 хв):
- Що є ключовим поняттям теми «Нерівності зі змінними. Розв’язок нерівності» і чому воно важливе?
- Де у повсякденному житті, науці чи IT ми стикаємося з цим явищем/алгоритмом?
- Яка найпоширеніша помилка виникає під час першого знайомства з матеріалом?
🏠 Диференційоване домашнє завдання:
- Базовий рівень (обов'язковий): опрацювати конспект і блок «У зошит».
- Достатній рівень: скласти власну шпаргалку та пройти MiniCheck.
- Високий / STEM: виконати симуляцію у лабораторії та скласти BossQuiz на 100 XP.
📊 Критерії формувального оцінювання:
Твоя місія на цей урок
Натискай на цілі у міру їх опанування:
- 1Зрозуміти відмінність між числовою нерівністю та нерівністю зі змінною.Опанувати ➔
- 2Засвоїти означення розв’язку нерівності як значення змінної, що перетворює її на правильну числову рівність.Опанувати ➔
- 3Усвідомити, що означає «розв’язати нерівність» (знайти всі розв’язки або довести їх відсутність).Опанувати ➔
- 4Познайомитися з поняттям рівносильних нерівностей.Опанувати ➔
🎯 Один корінь у рівняння — нескінченність у нерівності!
Рівняння x + 2 = 5 має лише один єдиний точний розв’язок: x = 3. Але варто замінити знак рівності на нерівність x + 2 > 5 — і розв’язками стають 3.1, 4, 100, мільйон і взагалі нескінченна множина чисел! Як записати цю нескінченність зрозумілою та компактною мовою?
1Поняття нерівності зі змінною та її розв'язку
Якщо два алгебраїчні вирази, з яких принаймні один містить змінну, сполучити знаками >, <, ≥ або ≤, то отримаємо нерівність зі змінною (наприклад, 3x - 5 > 7, x² - 4 ≤ 0).
Розв'язок нерівності зі змінною:
Це значення змінної, яке при підстановці в нерівність перетворює її на правильну числову нерівність.
Приклад: Для нерівності 2x + 1 > 5 число x = 3 є розв'язком (бо 2·3+1 = 7 > 5 — правильна нерівність), а число x = 1 не є розв'язком (бо 3 > 5 — хиба).
Що означає «розв'язати нерівність»?
Розв'язати нерівність — означає знайти всі її розв'язки або довести, що розв'язків не існує.
На відміну від рівнянь, які зазвичай мають кілька ізольованих коренів, нерівності переважно мають безліч розв'язків, які утворюють числові проміжки.
Візуалізація точок, дужок та штрихування
○ Виколота точка = не входить (кругла дужка ( ))
2Множина всіх дійсних чисел vs Порожня множина (∅)
Розв'язок — будь-яке дійсне число (x ∈ ℝ):
Нерівність справджується при будь-якому значенні змінної.
Оскільки x² ≥ 0 для будь-якого x, додавання 4 завжди дасть число більше нуля.
Немає розв'язків (Порожня множина x ∈ ∅):
Жодне дійсне число не перетворює нерівність на правильну.
Сума невід'ємного числа x² та 5 не може бути меншою за нуль за жодних обставин.
3Зразок академічного оформлення розв'язку в зошиті
Крок 1. Тотожні перетворення лівої частини:
Крок 2. Перенесення доданків зі змінною ліворуч, а чисел праворуч:
Крок 3. Ділення на від'ємний коефіцієнт (Зміна знака!):
Відповідь: x ∈ (-∞; -6/11). На числовій прямій позначаємо виколоту точку -6/11 зі штриховкою ліворуч.
📊 Опорна таблиця: Нерівності зі змінними, розв’язки та рівносильні перетворення
| Поняття / Перетворення | Математичний зміст | Приклад виконання |
|---|---|---|
| Розв’язок нерівності | Значення змінної, що перетворює нерівність на правильну числову рівність | x = 5 є розв’язком 2x + 1 > 7, бо 11 > 7 (істина) |
| Множина розв’язків | Сукупність усіх можливих значень змінної, що задовольняють умову | Для x > 3 множиною є проміжок (3; +∞) |
| Рівносильні нерівності | Нерівності, що мають абсолютно однакові множини розв’язків | 2x > 6 та x > 3 є рівносильними |
| Перенесення доданків | Знак доданка змінюється на протилежний: ax + b > c <=> ax > c - b | 3x - 5 > 4 => 3x > 9 |
| Нерівності без розв’язків | Неможлива умова, розв’язком є порожня множина ∅ | x² < -4 (квадрат дійсного числа не може бути від’ємним) |
Що є розв’язком нерівності з однією змінною?
У зошит (за підручником)
Вправи з підручника до цієї теми уроку. Виконуй у робочий зошит або за комп'ютером за вказівкою вчителя:
Перевірка, чи є задане число розв'язком нерівності зі змінною
💡 Підказка від нас: Підставити замість змінної числа -2, 0, 3 у нерівність 2x - 1 < 5 та перевірити істинність числової нерівності.
Рівносильні нерівності
💡 Підказка від нас: З'ясувати, чи є рівносильними пари нерівностей 3x > 9 та x > 3.
Шпаргалка уроку (головне в один екран)
Усе найважливіше для повторення перед уроком або самостійною роботою
Вираз, у якому ліва та права частини містять невідому (наприклад, 3x - 5 > 7).
Конкретне число, за якого нерівність стає істинною.
Знайти повну множину всіх її розв’язків або показати, що їх немає.
Збіг множин розв'язків двох нерівностей.
Бос-тест: Нерівності зі змінними та їх розв’язки
Питання 1 з 3 • Завдай удару по босу теми