Лінійні нерівності з однією змінною. Рівносильні нерівності
👩🏫Методичні акценти для вчителя • План проведення уроку на 45 хвНУШ▼
🎯 Очікувані результати навчання (НУШ):
Формування предметних компетентностей за темою «Лінійні нерівності з однією змінною. Рівносильні нерівності», розвиток критичного мислення, вміння аналізувати причинно-наслідкові зв'язки та застосовувати набуті знання на практиці.
💬 Провокативне питання для старту:
Використайте блок «Гачок (Hook)» нижче для 2-хвилинної розминки з класом перед поясненням нового матеріалу.
⏱️ Рекомендований таймінг 45-хвилинного уроку:
Тема: § 6. Лінійні нерівності з однією змінною. Рівносильні нерівності. Д/з: опрацювати матеріал уроку та завдання «У зошит» на платформі EZZ-SCHOOL BOOKS.
⚡ Фронтальне бліц-опитування класу на початку уроку (2 хв):
- Що є ключовим поняттям теми «Лінійні нерівності з однією змінною. Рівносильні нерівності» і чому воно важливе?
- Де у повсякденному житті, науці чи IT ми стикаємося з цим явищем/алгоритмом?
- Яка найпоширеніша помилка виникає під час першого знайомства з матеріалом?
🏠 Диференційоване домашнє завдання:
- Базовий рівень (обов'язковий): опрацювати конспект і блок «У зошит».
- Достатній рівень: скласти власну шпаргалку та пройти MiniCheck.
- Високий / STEM: виконати симуляцію у лабораторії та скласти BossQuiz на 100 XP.
📊 Критерії формувального оцінювання:
Чому ділення на -1 розвертає нерівність, і як це рятує автопілот дрона від аварії?
1Рівносильні нерівності та теореми рівносильності
Дві нерівності називають рівносильними, якщо вони мають одну й ту саму множину розв'язків (або якщо обидві нерівності не мають розв'язків).
Теореми рівносильних перетворень:
- Теорема 1: Якщо з однієї частини нерівності перенести в іншу доданок із протилежним знаком, отримаємо нерівність, рівносильну даній.
- Теорема 2: Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме додатне число, отримаємо рівносильну нерівність.
- Теорема 3: Якщо обидві частини помножити або поділити на від'ємне число і при цьому змінити знак нерівності на протилежний, отримаємо рівносильну нерівність.
Розв’язування лінійної нерівності ax ≷ b
Оскільки ділимо на від’ємне число -3, напрямок знака нерівності > ОБОВ’ЯЗКОВО РОЗВЕРТАЄТЬСЯ на <!
2Канонічний вигляд лінійної нерівності ax > b та аналіз коефіцієнта a
Лінійною нерівністю з однією змінною називають нерівність вигляду ax > b (або ax < b, ax ≥ b, ax ≤ b), де a і b — числа, а x — змінна.
Ділимо на a. Знак зберігається:
Розв'язок: x ∈ (b/a; +∞)
Ділимо на a. Знак розвертається:
Розв'язок: x ∈ (-∞; b/a)
Якщо b ≥ 0: 0 > b — неможливо ⟹ x ∈ ∅.
Якщо b < 0: 0 > b — завжди істина ⟹ x ∈ ℝ.
Розв'язати нерівність: (x - 1)/2 - (2x + 3)/3 < x/6.
1. Звільнимося від знаменників: помножимо обидві частини на спільний знаменник 6 > 0:
3(x - 1) - 2(2x + 3) < x
2. Розкриємо дужки: 3x - 3 - 4x - 6 < x ⟹ -x - 9 < x
3. Перенесемо доданки: -x - x < 9 ⟹ -2x < 9
4. Поділимо на -2 < 0 (знак розвертається!): x > -4,5.
Відповідь: x ∈ (-4,5; +∞).
📊 Опорна таблиця: Дослідження та розв’язування лінійних нерівностей ax > b
| Випадок коефіцієнта a | Розв’язок нерівності ax > b | Геометрична інтерпретація на числовій прямій |
|---|---|---|
| a > 0 | x > b / a | Проміжок (b/a; +∞), стрілка вправо, точка виколота |
| a < 0 | x < b / a (знак розвернувся!) | Проміжок (-∞; b/a), стрілка вліво, точка виколота |
| a = 0, b < 0 (наприклад: 0x > -5) | x ∈ (-∞; +∞) (будь-яке дійсне число) | Вся числова пряма (0 завжди більше за будь-яке від’ємне число) |
| a = 0, b ≥ 0 (наприклад: 0x > 3) | x ∈ ∅ (розв’язків немає) | Порожня множина, жодна точка не задовольняє умову |
| Нестрога нерівність ax ≥ b (a > 0) | x ≥ b / a | Проміжок [b/a; +∞), квадратна дужка, точка зафарбована |
Який розв’язок має нерівність -5x ≤ 35?
2Особливий випадок 0x та зведення складних нерівностей
Що відбувається, якщо після перенесення всіх іксів вони взаємно знищуються і залишається 0x?
Покроковий тренажер зведення до лінійних нерівностей
Розкриття дужок, звільнення від дробів та зведення подібних
Скільки цілих чисел задовольняють подвійну умову: x є натуральним розв'язком нерівності 3x - 1 < 11?
Шпаргалка до § 6: Лінійні нерівності в один екран
Усе найважливіше для повторення перед уроком або самостійною роботою
• Якщо a > 0: знак нерівності НЕ змінюється (x > b/a).
• Якщо a < 0: знак ОБОВ'ЯЗКОВО розвертається (x < b/a)!
• Перенесення доданка змінює його знак на протилежний (+ на -, - на +).
• Можна множити обидві частини на спільний знаменник (якщо він > 0, знак зберігається).
• 0x > b (де b > 0): хибно => ∅ (розв'язків немає).
• 0x < b (де b > 0): істинно => x ∈ (-∞; +∞).
• Строгі (>, <) => виколота точка ◯, круглі дужки ( ).
• Нестрогі (≥, ≤) => зафарбована точка ⬤, квадратні дужки [ ].
Самоперевірка (картки знань)
Натискай для перевороту (або Пробіл / ◀ ▶ на клавіатурі)
У зошит (за підручником)
Вправи з підручника до цієї теми уроку. Виконуй у робочий зошит або за комп'ютером за вказівкою вчителя:
Розпізнавання лінійних нерівностей з однією змінною
💡 Підказка від нас: Лінійною є нерівність вигляду ax > b, де степінь змінної x дорівнює 1. Тому x > -5 та -3x ≤ 6 є лінійними, а 2x² - 3 ≥ 0 (другий степінь) та дробова нерівність — ні!
Найпростіші нерівності з перенесенням доданків
💡 Підказка від нас: 1) x + 7 ≥ 3 => x ≥ 3 - 7 => x ≥ -4 (проміжок [-4; +∞)). 2) x - 5 < 2 => x < 7 (проміжок (-∞; 7)).
Ділення на додатне та від'ємне число (контроль знака)
💡 Підказка від нас: 3) -9x ≥ -63: ділимо на -9, тому знак змінюється: x ≤ 7. 4) -x < 5: ділимо на -1, знак змінюється: x > -5. 8) -3x ≤ 0: ділимо на -3, знак змінюється: x ≥ 0!
Лінійні нерівності в 2 дії
💡 Підказка від нас: 2) 3 - 5x ≤ 2 => -5x ≤ 2 - 3 => -5x ≤ -1 => ділимо на -5 зі зміною знака: x ≥ 0.2 (проміжок [0.2; +∞)).
Нерівності з розкриттям дужок
💡 Підказка від нас: 1) 4 - x > 3(2 + x) => 4 - x > 6 + 3x => -x - 3x > 6 - 4 => -4x > 2 => ділимо на -4: x < -0.5 (проміжок (-∞; -0.5)).
Історико-математичний розрахунок: заснування НТУ «ХПІ»
💡 Підказка від нас: Розкриваємо квадрати: x² - 6x + 9 - (x² + 2x + 1) > 2x - 43 => -8x + 8 > 2x - 43 => -10x > -51 => x < 5.1. Найбільший натуральний розв'язок x₀ = 5. Добуток: 377 · 5 = 1885 рік заснування Харківського політеху!
Історичний розрахунок: Конституція Пилипа Орлика 1710 року
💡 Підказка від нас: Розкриваємо дужки: x² - 4x + 4 - (x² - 2x + 1) < x - 52 => -2x + 3 < x - 52 => -3x < -55 => x > 18 1/3. Найменший натуральний розв'язок x₀ = 19. Тоді 90 · 19 = 1710 рік — прийняття першої Конституції у світі!
Особливі випадки з коефіцієнтом 0 біля змінної x
💡 Підказка від нас: 1) 2(3x + 1) - 3x > 3x => 6x + 2 - 3x > 3x => 0x > -2. Оскільки 0 > -2 завжди є правильним, розв'язком є будь-яке число: (-∞; +∞).
Бліц-тест: Майстер лінійних нерівностей
Питання 1 з 6 • Завдай удару по босу теми