Системи лінійних нерівностей з однією змінною, їх розв’язування
👩🏫Методичні акценти для вчителя • План проведення уроку на 45 хвНУШ▼
🎯 Очікувані результати навчання (НУШ):
Формування предметних компетентностей за темою «Системи лінійних нерівностей з однією змінною, їх розв’язування», розвиток критичного мислення, вміння аналізувати причинно-наслідкові зв'язки та застосовувати набуті знання на практиці.
💬 Провокативне питання для старту:
Використайте блок «Гачок (Hook)» нижче для 2-хвилинної розминки з класом перед поясненням нового матеріалу.
⏱️ Рекомендований таймінг 45-хвилинного уроку:
Тема: § 7. Системи лінійних нерівностей з однією змінною, їх розв’язування. Д/з: опрацювати матеріал уроку та завдання «У зошит» на платформі EZZ-SCHOOL BOOKS.
⚡ Фронтальне бліц-опитування класу на початку уроку (2 хв):
- Що є ключовим поняттям теми «Системи лінійних нерівностей з однією змінною, їх розв’язування» і чому воно важливе?
- Де у повсякденному житті, науці чи IT ми стикаємося з цим явищем/алгоритмом?
- Яка найпоширеніша помилка виникає під час першого знайомства з матеріалом?
🏠 Диференційоване домашнє завдання:
- Базовий рівень (обов'язковий): опрацювати конспект і блок «У зошит».
- Достатній рівень: скласти власну шпаргалку та пройти MiniCheck.
- Високий / STEM: виконати симуляцію у лабораторії та скласти BossQuiz на 100 XP.
📊 Критерії формувального оцінювання:
Як знайти швидкість велосипедистки за двома неточними показниками секундоміра?
1Системи лінійних нерівностей: поняття та алгоритм розв'язування
Система нерівностей виникає тоді, коли потрібно знайти такі значення змінної, які одночасно задовольняють кожну з кількох нерівностей (позначається фігурною дужкою).
Чотири кроки розв'язування системи:
- Крок 1: Розв'язати першу нерівність системи окремо.
- Крок 2: Розв'язати другу нерівність системи окремо.
- Крок 3: Зобразити розв'язки кожної нерівності на одній і тій самій координатній прямій (першу — верхньою штриховкою, другу — нижньою).
- Крок 4: Знайти перетин штриховок (спільну зону подвійної штриховки) і записати відповідь у вигляді числового проміжку.
Геометрія перетину систем нерівностей
Будь-яке число з цього проміжку робить правильними ОБИДВІ нерівності системи!
2Типові геометричні конфігурації перетину променів (при a < b)
Обидва промені вправо. Перетин починається від більшого числа b: x ∈ (b; +∞).
Обидва промені вліво. Перетин закінчується на меншому числі a: x ∈ (-∞; a).
Промені назустріч один одному. Утворюють інтервал: x ∈ (a; b).
Промені розходяться в різні боки без спільної частини: x ∈ ∅.
Будь-яка подвійна нерівність виду a ≤ f(x) ≤ b рівносильна системі двох нерівностей: { f(x) ≥ a; f(x) ≤ b }. Її можна розв'язувати паралельно, виконуючи тотожні дії над усіма трьома частинами одночасно!
📊 Опорна таблиця: Системи лінійних нерівностей та операції над проміжками
| Тип перетину проміжків | Аналітичний запис системи | Результат перетину (спільна частина) |
|---|---|---|
| Дві стрілки вправо: x > a і x > b (a < b) | { x > a, x > b } | x > b => (b; +∞) (вибираємо більше з більших) |
| Дві стрілки вліво: x < a і x < b (a < b) | { x < a, x < b } | x < a => (-∞; a) (вибираємо менше з менших) |
| Стрілки назустріч: x > a і x < b (a < b) | { x > a, x < b } | a < x < b => (a; b) (скінченний числовий інтервал) |
| Стрілки врізнобіч: x < a і x > b (a < b) | { x < a, x > b } | x ∈ ∅ (перетин порожній, спільної частини немає) |
| Подвійна нерівність a < f(x) < b | { f(x) > a, f(x) < b } | Зручно розв’язувати одночасними перетвореннями всіх трьох частин |
Який проміжок є розв'язком системи нерівностей: [x > 1, x ≥ 4]?
2Подвійні нерівності: розв’язування у три боки одночасно
Нерівність вигляду a < f(x) ≤ b називають подвійною нерівністю. Замість того, щоб розписувати її як систему з двох окремих нерівностей, набагато швидше застосовувати однакові операції одночасно до лівої, середньої та правої частин!
Практикум подвійних нерівностей: розв’язок у 3 боки
Паралельні перетворення лівої, центральної та правої частин
Розв’яжіть усно подвійну нерівність: 2 < 3x - 1 < 11
Шпаргалка до § 7: Системи лінійних нерівностей
Усе найважливіше для повторення перед уроком або самостійною роботою
1. Розв'яжи кожну нерівність окремо до вигляду x ≷ a.
2. Нанеси обидва розв'язки на одну числову пряму.
3. Знайди ділянку перетину подвійної штриховки.
1. Відніми b від усіх трьох частин: a - b < kx ≤ c - b.
2. Поділи всі частини на k (якщо k < 0, обидва знаки розвертаються!).
• { x < 2, x > 5 } — штриховки не перетинаються (∅).
• { x < 3, x > 3 } — виколота точка 3 не належить жодній з них (∅).
• У проміжку (-3; 2] цілими є: -2, -1, 0, 1, 2 (число 2 включено, -3 ні!).
• У проміжку [1; 4] цілими є: 1, 2, 3, 4.
Самоперевірка (картки знань)
Натискай для перевороту (або Пробіл / ◀ ▶ на клавіатурі)
У зошит (за підручником)
Вправи з підручника до цієї теми уроку. Виконуй у робочий зошит або за комп'ютером за вказівкою вчителя:
Перевірка чисел на відповідність системі нерівностей
💡 Підказка від нас: Число є розв'язком системи тоді й тільки тоді, коли воно задовольняє ОБИДВІ нерівності одночасно. Підстав число в першу і в другу нерівність: якщо обидві правильні — воно є розв'язком!
Розв'язування найпростіших систем нерівностей
💡 Підказка від нас: 1) { x > 2, x > 5 => спільна частина: x > 5, тобто (5; +∞). 2) { x < 3, x < 0 => спільна частина: x < 0, тобто (-∞; 0).
Графічне знаходження перетину числових проміжків
💡 Підказка від нас: Зображуємо розв'язок першої нерівності штриховкою вгору, а другої — штриховкою вниз. Ділянка з подвійною штриховкою («ялинка») і є шуканим розв'язком системи!
Розв'язування подвійних нерівностей методом 3 частин
💡 Підказка від нас: 1) 1 < 3x - 2 ≤ 7 => додаємо 2 до всіх 3 частин: 3 < 3x ≤ 9 => ділимо на 3: 1 < x ≤ 3. Проміжок (1; 3].
Пошук усіх цілих розв'язків системи нерівностей
💡 Підказка від нас: Спочатку знаходимо числовий проміжок-розв'язок системи, а потім виписуємо всі цілі числа, які лежать усередині цього проміжку (зважай на строгість дужок!).
Спортивно-патріотичний розрахунок: медалі Парижа 2024
💡 Підказка від нас: Розв'язуємо систему, знаходимо всі цілі розв'язки та обчислюємо їхню суму: вона в точності дорівнює 82 — саме стільки медалей виборола паралімпійська збірна України в Парижі!
Олімпійський тріумф Жана Беленюка в Токіо
💡 Підказка від нас: Розв'язуємо систему лінійних нерівностей і знаходимо найбільший цілий розв'язок x₀ = 20. Добуток: 101 · 20 = 2020 рік — коли Жан здобув олімпійське золото!
Геометрична задача: обмеження сторін трикутника через систему
💡 Підказка від нас: За нерівністю трикутника третя сторона c має бути меншою за суму двох інших (c < 4 + 5 = 9) і більшою за їхню різницю (c > 5 - 4 = 1). А за умовою периметр 4 + 5 + c < 15 => c < 6. Маємо систему: { c > 1, c < 6 => довжина третьої сторони від 1 см до 6 см!
Бліц-тест: Майстер систем нерівностей
Питання 1 з 6 • Завдай удару по босу теми