Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель задач
👩🏫Методичні акценти для вчителя • План проведення уроку на 45 хвНУШ▼
🎯 Очікувані результати навчання (НУШ):
Формування предметних компетентностей за темою «Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель задач», розвиток критичного мислення, вміння аналізувати причинно-наслідкові зв'язки та застосовувати набуті знання на практиці.
💬 Провокативне питання для старту:
Використайте блок «Гачок (Hook)» нижче для 2-хвилинної розминки з класом перед поясненням нового матеріалу.
⏱️ Рекомендований таймінг 45-хвилинного уроку:
Тема: § 14. Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель задач. Д/з: опрацювати матеріал уроку та завдання «У зошит» на платформі EZZ-SCHOOL BOOKS.
⚡ Фронтальне бліц-опитування класу на початку уроку (2 хв):
- Що є ключовим поняттям теми «Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель задач» і чому воно важливе?
- Де у повсякденному житті, науці чи IT ми стикаємося з цим явищем/алгоритмом?
- Яка найпоширеніша помилка виникає під час першого знайомства з матеріалом?
🏠 Диференційоване домашнє завдання:
- Базовий рівень (обов'язковий): опрацювати конспект і блок «У зошит».
- Достатній рівень: скласти власну шпаргалку та пройти MiniCheck.
- Високий / STEM: виконати симуляцію у лабораторії та скласти BossQuiz на 100 XP.
📊 Критерії формувального оцінювання:
Твоя місія на цей урок
Натискай на цілі у міру їх опанування:
- 1Засвоїти етапи побудови математичної моделі реальних текстових задач.Опанувати ➔
- 2Навчитися перекладати геометричні, економічні та фізичні умови на мову систем рівнянь другого степеня.Опанувати ➔
- 3Розв'язувати задачі на площу, периметр і діагоналі прямокутника за допомогою теореми Піфагора.Опанувати ➔
- 4Виконувати змістовний аналіз отриманих коренів (відкидання нереальних від'ємних величин).Опанувати ➔
🏗️ Від креслення будівельника до реального хмарочоса!
Ділянка під будівництво повинна мати площу 600 м², а довжина діагональної доріжки має бути рівно 50 м. Як дізнатися довжину й ширину ділянки? Архітектор не вгадує навмання — він записує систему рівнянь другого степеня: xy = 600 та x² + y² = 50²!
1Системи рівнянь як математичні моделі прикладних задач
Математичне моделювання — це процес перекладу реальної життєвої проблеми мовою математичних рівнянь.
Три обов'язкові етапи розв'язання текстової задачі:
- Етап 1 (Складання моделі): Обрати дві невідомі величини та позначити їх змінними x та y. За умовами задачі скласти систему двох рівнянь.
- Етап 2 (Внутрішньомодельне розв'язання): Розв'язати утворену систему рівнянь алгебраїчним способом.
- Етап 3 (Аналіз результату): Співвіднести отримані числа з фізичним змістом задачі (відкинути від'ємні значення, якщо йдеться про швидкість, час, довжину чи кількість робітників).
Графічний зміст та метод підстановки
x² - 4 = x - 2 ⇒ x² - x - 2 = 0
Корені квадратного рівняння: x₁ = 2, x₂ = -1
2Класифікація задач на складання систем
Базова формула: S = v · t. Рух за течією: v = v_вл + v_теч, проти течії: v = v_вл - v_теч.
Увесь обсяг виконаної роботи приймають за 1. Продуктивність праці: p = 1 / t. Спільна продуктивність: 1/x + 1/y.
Прямокутник зі сторонами x і y: P = 2(x + y), площа S = x · y. Для прямокутного трикутника: x² + y² = c² (теорема Піфагора).
3Зразок розв'язання задачі на рух за допомогою нелінійної системи
Складання математичної моделі:
Нехай швидкість другого авто — v км/год, тоді першого — (v + 20) км/год. Час другого: t₂ = 120/v год, першого: t₁ = 120/(v + 20) год.
Зводимо до спільного знаменника v(v + 20) ≠ 0:
2400 = v² + 20v ⇒ v² + 20v - 2400 = 0
За теоремою Вієта: v₁ = 40, v₂ = -60 (не задовольняє умову, швидкість > 0).
Швидкість другого авто: 40 км/год. Швидкість першого авто: 40 + 20 = 60 км/год.
Відповідь: 60 км/год та 40 км/год.
📊 Опорна таблиця: Математичне моделювання текстових задач за допомогою систем рівнянь
| Тип задачі | Змінні та ключові співвідношення | Базова математична модель |
|---|---|---|
| Задачі на рух (швидкість, час, шлях) | v₁ = x, v₂ = y; s = v · t | { (x + y) · t₁ = s, (x - y) · t₂ = s } |
| Задачі на спільну роботу | Продуктивність p₁ = 1/x, p₂ = 1/y; робота A = 1 | { (1/x + 1/y) · t = 1, x - y = d } |
| Задачі на числа (двоцифрові числа) | Число 10x + y; перестановка 10y + x | { 10x + y = k(x + y), x² + y² = m } |
| Геометричні задачі (прямокутник) | Сторони x і y; периметр P, площа S, діагональ d | { 2(x + y) = P, xy = S } або { x² + y² = d², xy = S } |
| Задачі на сплави та суміші | Маса речовини: m_реч = m_заг · ω% | { x + y = M, 0.2x + 0.5y = 0.3M } |
Периметр прямокутної ділянки дорівнює 20 м, а її площа — 24 м². Якими є розміри цієї ділянки?
У зошит (за підручником)
Вправи з підручника до цієї теми уроку. Виконуй у робочий зошит або за комп'ютером за вказівкою вчителя:
Складання математичної моделі геометричних задач
💡 Підказка від нас: Позначити сторони прямокутника через x та y. За умовою скласти систему для периметра та діагоналі (за теоремою Піфагора x² + y² = d²).
Задачі на спільну роботу та рух
💡 Підказка від нас: Скласти систему двох рівнянь для часу виконання роботи двома робітниками або швидкостей двох транспортних засобів.
Шпаргалка уроку (головне в один екран)
Усе найважливіше для повторення перед уроком або самостійною роботою
Опис реального процесу або задачі за допомогою математичних формул і рівнянь.
Сума довжини та ширини прямокутника: x + y = P / 2.
Зв'язок сторін і діагоналі прямокутника: x² + y² = d².
Відкидання від'ємних коренів у прикладних задачах на геометрію та рух.
Бос-тест: Системи рівнянь як математичні моделі задач
Питання 1 з 3 • Завдай удару по босу теми