Розв’язування систем рівнянь другого степеня з двома змінними
👩🏫Методичні акценти для вчителя • План проведення уроку на 45 хвНУШ▼
🎯 Очікувані результати навчання (НУШ):
Формування предметних компетентностей за темою «Розв’язування систем рівнянь другого степеня з двома змінними», розвиток критичного мислення, вміння аналізувати причинно-наслідкові зв'язки та застосовувати набуті знання на практиці.
💬 Провокативне питання для старту:
Використайте блок «Гачок (Hook)» нижче для 2-хвилинної розминки з класом перед поясненням нового матеріалу.
⏱️ Рекомендований таймінг 45-хвилинного уроку:
Тема: § 13. Розв’язування систем рівнянь другого степеня з двома змінними. Д/з: опрацювати матеріал уроку та завдання «У зошит» на платформі EZZ-SCHOOL BOOKS.
⚡ Фронтальне бліц-опитування класу на початку уроку (2 хв):
- Що є ключовим поняттям теми «Розв’язування систем рівнянь другого степеня з двома змінними» і чому воно важливе?
- Де у повсякденному житті, науці чи IT ми стикаємося з цим явищем/алгоритмом?
- Яка найпоширеніша помилка виникає під час першого знайомства з матеріалом?
🏠 Диференційоване домашнє завдання:
- Базовий рівень (обов'язковий): опрацювати конспект і блок «У зошит».
- Достатній рівень: скласти власну шпаргалку та пройти MiniCheck.
- Високий / STEM: виконати симуляцію у лабораторії та скласти BossQuiz на 100 XP.
📊 Критерії формувального оцінювання:
Твоя місія на цей урок
Натискай на цілі у міру їх опанування:
- 1Засвоїти структуру систем двох рівнянь із двома змінними, де хоча б одне рівняння має другий степінь.Опанувати ➔
- 2Опанувати універсальний метод підстановки для систем другого степеня.Опанувати ➔
- 3Застосовувати метод заміни змінних для симетричних систем (через суму та добуток Вієта).Опанувати ➔
- 4Інтерпретувати розв'язки системи геометрично як точки перетину ліній (параболи, кола, прямої, гіперболи).Опанувати ➔
🌐 GPS-навігація: як телефон знаходить вас у просторі?
Ваш смартфон не знає вашої адреси — він лише вимірює відстань до трьох супутників на орбіті. Кожен супутник окреслює сферу (коло на площині рівнянням x² + y² = R²). Точка, де ви стоїте — це спільний розв'язок нелінійної системи рівнянь кіл! Алгебра 9 класу лежить в основі супутникової навігації всього людства!
1Системи рівнянь другого степеня з двома змінними
Система двох рівнянь із двома змінними називається системою другого степеня, якщо принаймні одне з її рівнянь має другий степінь (містить члени x², y², xy), а друге — не вище другого степеня.
З лінійного рівняння виражають одну змінну через іншу (наприклад, y = 3 - 2x) і підставляють у друге (квадратне) рівняння, отримуючи одне рівняння з однією змінною.
Почленно додають або віднімають рівняння, коли коефіцієнти при однакових квадратах чи добутках взаємно знищуються (наприклад, x² + y² = 25 і x² - y² = 7).
У симетричних системах вводять змінні u = x + y та v = x · y. Тоді за теоремою Вієта числа x та y є коренями допоміжного рівняння t² - ut + v = 0.
Графічний зміст та метод підстановки
x² - 4 = x - 2 ⇒ x² - x - 2 = 0
Корені квадратного рівняння: x₁ = 2, x₂ = -1
2Геометричний зміст розв'язання системи
Розв'язками системи рівнянь є координати точок перетину графіків цих рівнянь на координатній площині.
• Перетин кола x² + y² = R² і прямої може давати 0, 1 або 2 точки.
• Перетин параболи y = ax² і гіперболи xy = k може давати до 3 точок.
• Перетин двох кіл або кола й параболи може давати до 4 точок (відповідно, система може мати до 4 розв'язків).
📊 Опорна таблиця: Методи розв’язування систем рівнянь другого степеня
| Метод розв’язання | Суть алгоритму | Коли найзручніше застосовувати |
|---|---|---|
| Метод підстановки | Виразити одну змінну через іншу з лінійного рівняння та підставити у друге | Одне з рівнянь системи є лінійним: y = kx + b |
| Метод алгебраїчного додавання | Домножити рівняння та додати/відняти для знищення однакових одночленів | Рівняння містять однакові квадрати: x² чи y² |
| Метод заміни змінних | Ввести нові змінні u = x + y, v = xy (симетричні системи) | Рівняння не змінюються при взаємній заміні x на y |
| Графічний метод | Побудувати графіки обох рівнянь в одній системі та знайти координати точок перетину | Для якісного аналізу кількості розв’язків системи |
Які пари чисел є розв'язками нелінійної системи x + y = 5 та x · y = 6?
У зошит (за підручником)
Вправи з підручника до цієї теми уроку. Виконуй у робочий зошит або за комп'ютером за вказівкою вчителя:
Розв'язування систем другого степеня способом підстановки
💡 Підказка від нас: Виразити одну змінну з лінійного рівняння, підставити у квадратне, розв'язати утворене рівняння та знайти відповідні значення другої змінної.
Графічний спосіб розв'язування систем
💡 Підказка від нас: Побудувати в одній системі координат коло x² + y² = 16 та пряму y = x + 4, знайти координати їхніх спільних точок.
Шпаргалка уроку (головне в один екран)
Усе найважливіше для повторення перед уроком або самостійною роботою
Розв'язок системи: пара чисел, що перетворює обидва рівняння на правильні рівності.
Універсальний метод розв'язання систем лінійного та квадратного рівнянь.
Кількість розв'язків дорівнює кількості точок перетину відповідних ліній на графіку.
Рівняння кола радіуса R із центром у початку координат.
Бос-тест: Системи рівнянь другого степеня
Питання 1 з 3 • Завдай удару по босу теми