Арифметична прогресія, її властивості. Формула n-го члена
👩🏫Методичні акценти для вчителя • План проведення уроку на 45 хвНУШ▼
🎯 Очікувані результати навчання (НУШ):
Формування предметних компетентностей за темою «Арифметична прогресія, її властивості. Формула n-го члена», розвиток критичного мислення, вміння аналізувати причинно-наслідкові зв'язки та застосовувати набуті знання на практиці.
💬 Провокативне питання для старту:
Використайте блок «Гачок (Hook)» нижче для 2-хвилинної розминки з класом перед поясненням нового матеріалу.
⏱️ Рекомендований таймінг 45-хвилинного уроку:
Тема: § 16. Арифметична прогресія, її властивості. Формула n-го члена. Д/з: опрацювати матеріал уроку та завдання «У зошит» на платформі EZZ-SCHOOL BOOKS.
⚡ Фронтальне бліц-опитування класу на початку уроку (2 хв):
- Що є ключовим поняттям теми «Арифметична прогресія, її властивості. Формула n-го члена» і чому воно важливе?
- Де у повсякденному житті, науці чи IT ми стикаємося з цим явищем/алгоритмом?
- Яка найпоширеніша помилка виникає під час першого знайомства з матеріалом?
🏠 Диференційоване домашнє завдання:
- Базовий рівень (обов'язковий): опрацювати конспект і блок «У зошит».
- Достатній рівень: скласти власну шпаргалку та пройти MiniCheck.
- Високий / STEM: виконати симуляцію у лабораторії та скласти BossQuiz на 100 XP.
📊 Критерії формувального оцінювання:
Твоя місія на цей урок
Натискай на цілі у міру їх опанування:
- 1Засвоїти означення арифметичної прогресії як послідовності зі сталим кроком додавання.Опанувати ➔
- 2Опанувати знаходження різниці d = aₙ₊₁ - aₙ.Опанувати ➔
- 3Вивчити формулу n-го члена: aₙ = a₁ + (n - 1)·d.Опанувати ➔
- 4Застосовувати характеристичну властивість: будь-який член є середнім арифметичним своїх сусідів.Опанувати ➔
🪜 Рівні сходинки вгору: як лічильники й таймери рахують час?
Кожна секунда на годиннику додає +1, кожні 100 метрів у таксі додають +3 гривні до тарифу, кожна сходинка драбини піднімає вас рівно на 15 см. Усе, що змінюється з постійною швидкістю додавання — це арифметична прогресія!
1Означення арифметичної прогресії та її різниця d
Арифметичною прогресією називають числову послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого додають одне й те саме стале число d (різницю прогресії):
Кожен наступний член більший за попередній: 3, 7, 11, 15... (d = 4).
Кожен наступний член менший за попередній: 20, 15, 10, 5... (d = -5).
Усі члени послідовності однакові: 7, 7, 7, 7... (d = 0).
Арифметична, геометрична прогресії та складні відсотки
Елементи послідовності:
Властивість: будь-який член (крім першого) є середнім арифметичним сусідніх: a_2 = (2 + 8) / 2.
2Формула n-го члена та характеристична властивість
Формула n-го члена:
Дозволяє миттєво обчислити будь-який член без обчислення всіх проміжних:
Приклад: Якщо a₁ = 4, d = 3, то сотий член: a₁₀₀ = 4 + 3 · 99 = 301.
Характеристична властивість:
Будь-який член прогресії (крім першого) є середнім арифметичним своїх сусідів:
Саме тому прогресію назвали «арифметичною»!
3Характеристична властивість та типові задачі ЗНО
Теорема про середнє арифметичне:
Будь-який член арифметичної прогресії (крім першого) є середнім арифметичним двох сусідніх із ним членів:
Більше того: a_n = (a_(n-k) + a_(n+k)) / 2 для будь-яких симетрично віддалених членів!
За характеристичною властивістю: 2x + 1 = [(x - 1) + (5x - 1)] / 2
2x + 1 = (6x - 2) / 2 ⇒ 2x + 1 = 3x - 1 ⇒ x = 2.
📊 Опорна таблиця: Арифметична прогресія — різниця d та формула n-го члена
| Характеристика / Властивість | Математична формула | Приклад застосування |
|---|---|---|
| Означення арифметичної прогресії | a_{n+1} = a_n + d | Кожен наступний член більший за попередній на константу d |
| Різниця прогресії d | d = a_{n+1} - a_n = (a_k - a_m) / (k - m) | Для прогресії 3, 7, 11: d = 7 - 3 = 4 |
| Формула n-го члена | a_n = a₁ + d(n - 1) | Знайти 10-й член: a₁₀ = a₁ + 9d |
| Характеристична властивість | a_n = (a_{n-1} + a_{n+1}) / 2 | Будь-який член (крім першого) є середнім арифметичним своїх сусідів |
| Властивість рівновіддалених членів | a_k + a_m = a_p + a_q (якщо k + m = p + q) | a₁ + a₁₀ = a₂ + a₉ = a₅ + a₆ |
Чому дорівнює 10-й член арифметичної прогресії, у якій a₁ = 5, а різниця d = 3?
У зошит (за підручником)
Вправи з підручника до цієї теми уроку. Виконуй у робочий зошит або за комп'ютером за вказівкою вчителя:
Знаходження різниці d та n-го члена арифметичної прогресії
💡 Підказка від нас: Знайти різницю d = a₂ - a₁ та обчислити десятий член прогресії 7, 10, 13...
Характеристична властивість арифметичної прогресії
💡 Підказка від нас: Знайти x, при якому числа x - 1, 2x, 5x + 3 утворюють арифметичну прогресію: 2x = ((x - 1) + (5x + 3)) / 2.
Шпаргалка уроку (головне в один екран)
Усе найважливіше для повторення перед уроком або самостійною роботою
Рекурентне означення арифметичної прогресії.
Різниця прогресії (крок).
Формула n-го члена.
Характеристична властивість (середнє арифметичне сусідів).
Бос-тест: Арифметична прогресія та формула n-го члена
Питання 1 з 3 • Завдай удару по босу теми