Геометрична прогресія, її властивості. Формула n-го члена
👩🏫Методичні акценти для вчителя • План проведення уроку на 45 хвНУШ▼
🎯 Очікувані результати навчання (НУШ):
Формування предметних компетентностей за темою «Геометрична прогресія, її властивості. Формула n-го члена», розвиток критичного мислення, вміння аналізувати причинно-наслідкові зв'язки та застосовувати набуті знання на практиці.
💬 Провокативне питання для старту:
Використайте блок «Гачок (Hook)» нижче для 2-хвилинної розминки з класом перед поясненням нового матеріалу.
⏱️ Рекомендований таймінг 45-хвилинного уроку:
Тема: § 18. Геометрична прогресія, її властивості. Формула n-го члена. Д/з: опрацювати матеріал уроку та завдання «У зошит» на платформі EZZ-SCHOOL BOOKS.
⚡ Фронтальне бліц-опитування класу на початку уроку (2 хв):
- Що є ключовим поняттям теми «Геометрична прогресія, її властивості. Формула n-го члена» і чому воно важливе?
- Де у повсякденному житті, науці чи IT ми стикаємося з цим явищем/алгоритмом?
- Яка найпоширеніша помилка виникає під час першого знайомства з матеріалом?
🏠 Диференційоване домашнє завдання:
- Базовий рівень (обов'язковий): опрацювати конспект і блок «У зошит».
- Достатній рівень: скласти власну шпаргалку та пройти MiniCheck.
- Високий / STEM: виконати симуляцію у лабораторії та скласти BossQuiz на 100 XP.
📊 Критерії формувального оцінювання:
Твоя місія на цей урок
Натискай на цілі у міру їх опанування:
- 1Засвоїти означення геометричної прогресії як послідовності зі сталим множником зростання.Опанувати ➔
- 2Опанувати знаходження знаменника q = bₙ₊₁ / bₙ.Опанувати ➔
- 3Вивчити формулу n-го члена: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹.Опанувати ➔
- 4Застосовувати характеристичну властивість: квадрат будь-якого члена дорівнює добутку сусідів: bₖ² = bₖ₋₁ · bₖ₊₁.Опанувати ➔
🌾 Зерна на шахівниці: як одне зернятко спустошило імперію?
Винахідник шахів попросив у раджі за першу клітинку 1 зернину пшениці, за другу — 2, за третю — 4, за четверту — 8... Подвоєння на кожному кроці видавалося дрібницею, але на 64-й клітинці виявилося 18 квінтильйонів зерен — більше, ніж усе людство виростило за тисячоліття! Це нищівна вибухова сила геометричної прогресії!
1Означення геометричної прогресії та її знаменник q
Геометричною прогресією називають числову послідовність із відмінним від нуля першим членом b₁ ≠ 0, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те саме число q ≠ 0 (знаменник прогресії):
Формула n-го члена:
Приклад: Якщо b₁ = 3, q = 2, то сьомий член: b₇ = 3 · 2⁶ = 3 · 64 = 192.
Характеристична властивість:
Квадрат будь-якого члена дорівнює добутку його сусідніх членів:
Модуль кожного члена є середнім геометричним його сусідів!
Арифметична, геометрична прогресії та складні відсотки
Елементи послідовності:
Властивість: будь-який член (крім першого) є середнім арифметичним сусідніх: a_2 = (2 + 8) / 2.
3Характеристична властивість та вибухове зростання
Теорема про середнє геометричне:
Квадрат будь-якого члена геометричної прогресії (крім першого) дорівнює добутку двох сусідніх із ним членів:
Якщо бактерія ділиться навпіл щопівгодини (b₁ = 1, q = 2), то через 24 години (48 циклів) їхня кількість становитиме 2⁴⁷ ≈ 1.4 × 10¹⁴ клітин — маса бактерій перевищить вагу цілої вантажівки!
📊 Опорна таблиця: Геометрична прогресія — знаменник q та формула n-го члена
| Властивість / Формула | Математичний запис | Приклад обчислення |
|---|---|---|
| Означення геометричної прогресії | b_{n+1} = b_n · q (b₁ ≠ 0, q ≠ 0) | Кожен наступний член утворюється множенням на знаменник q |
| Знаменник прогресії q | q = b_{n+1} / b_n | Для прогресії 2, 6, 18, 54: q = 6 / 2 = 3 |
| Формула n-го члена | b_n = b₁ · q^{n-1} | b₅ = b₁ · q⁴; для b₁=2, q=3: b₅ = 2 · 81 = 162 |
| Характеристична властивість | b_n² = b_{n-1} · b_{n+1} => |b_n| = √(b_{n-1} · b_{n+1}) | Квадрат кожного члена дорівнює добутку його сусідів |
| Добуток рівновіддалених членів | b_k · b_m = b_p · b_q (якщо k + m = p + q) | b₁ · b₆ = b₂ · b₅ = b₃ · b₄ |
Знайдіть 5-й член геометричної прогресії, якщо перший член b₁ = 3, а знаменник q = 2.
У зошит (за підручником)
Вправи з підручника до цієї теми уроку. Виконуй у робочий зошит або за комп'ютером за вказівкою вчителя:
Знаходження знаменника q та n-го члена геометричної прогресії
💡 Підказка від нас: Знайти знаменник q = b₂ / b₁ та обчислити шостий член прогресії 2, 6, 18...
Характеристична властивість геометричної прогресії
💡 Підказка від нас: Знайти додатне x, при якому числа x - 4, x, 2x + 12 утворюють геометричну прогресію: x² = (x - 4)(2x + 12).
Шпаргалка уроку (головне в один екран)
Усе найважливіше для повторення перед уроком або самостійною роботою
Рекурентне означення геометричної прогресії.
Знаменник геометричної прогресії.
Формула n-го члена.
Характеристична властивість (середнє геометричне сусідів).
Бос-тест: Геометрична прогресія та знаменник q
Питання 1 з 3 • Завдай удару по босу теми