Нескінченна геометрична прогресія та її сума
👩🏫Методичні акценти для вчителя • План проведення уроку на 45 хвНУШ▼
🎯 Очікувані результати навчання (НУШ):
Формування предметних компетентностей за темою «Нескінченна геометрична прогресія та її сума», розвиток критичного мислення, вміння аналізувати причинно-наслідкові зв'язки та застосовувати набуті знання на практиці.
💬 Провокативне питання для старту:
Використайте блок «Гачок (Hook)» нижче для 2-хвилинної розминки з класом перед поясненням нового матеріалу.
⏱️ Рекомендований таймінг 45-хвилинного уроку:
Тема: § 21. Нескінченна геометрична прогресія та її сума. Д/з: опрацювати матеріал уроку та завдання «У зошит» на платформі EZZ-SCHOOL BOOKS.
⚡ Фронтальне бліц-опитування класу на початку уроку (2 хв):
- Що є ключовим поняттям теми «Нескінченна геометрична прогресія та її сума» і чому воно важливе?
- Де у повсякденному житті, науці чи IT ми стикаємося з цим явищем/алгоритмом?
- Яка найпоширеніша помилка виникає під час першого знайомства з матеріалом?
🏠 Диференційоване домашнє завдання:
- Базовий рівень (обов'язковий): опрацювати конспект і блок «У зошит».
- Достатній рівень: скласти власну шпаргалку та пройти MiniCheck.
- Високий / STEM: виконати симуляцію у лабораторії та скласти BossQuiz на 100 XP.
📊 Критерії формувального оцінювання:
Твоя місія на цей урок
Натискай на цілі у міру їх опанування:
- 1Зрозуміти парадокс нескінченності: як сума нескінченної кількості доданків може бути скінченним точним числом.Опанувати ➔
- 2Засвоїти умову існування суми нескінченної геометричної прогресії: |q| < 1.Опанувати ➔
- 3Вивчити формулу суми: S = b₁ / (1 - q).Опанувати ➔
- 4Навчитися перетворювати будь-який нескінченний десятковий періодичний дріб у звичайний дріб.Опанувати ➔
🐢 Апорія Зенона: чи наздожене Ахіллес черепаху?
Давньогрецький філософ Зенон стверджував: швидконогий Ахіллес ніколи не наздожене повільну черепаху, бо поки він пробіжить відстань до неї (100 м), вона відповзе на 10 м; поки він подолає 10 м, вона проповзе 1 м... Відстаней нескінченно багато! Але геометрія прогресій розв'язує цей парадокс: нескінченна сума 100 + 10 + 1 + 0.1 + ... збігається до точного скінченного числа 111.111 м!
1Нескінченна спадна геометрична прогресія (|q| < 1)
Якщо знаменник геометричної прогресії за модулем строго менший за одиницю (|q| < 1), то зі збільшенням номера n значення qⁿ наближається до нуля. Сума нескінченної кількості таких доданків є скінченним числом!
Перетворити нескінченний дріб 0,(7) = 0,7777... на звичайний дріб:
S = 0,7 / (1 - 0,1) = 0,7 / 0,9 = 7/9.
Арифметична, геометрична прогресії та складні відсотки
Елементи послідовності:
Властивість: будь-який член (крім першого) є середнім арифметичним сусідніх: a_2 = (2 + 8) / 2.
3Практикум: Перетворення періодичного дробу через суму прогресії
Розпишемо дріб як суму розрядних доданків:
За формулою суми S = b₁ / (1 - q):
Отже, 0.(27) = 3/11. Перевірка: 3 / 11 = 0.272727... — абсолютно точно!
📊 Опорна таблиця: Нескінченна спадна геометрична прогресія (|q| < 1)
| Величина / Застосування | Формула обчислення | Геометричний та числовий зміст |
|---|---|---|
| Умова збіжності суми | |q| < 1 (-1 < q < 1) | Члени прогресії стрімко прямують до нуля: qⁿ → 0 |
| Формула суми нескінченної прогресії | S = b₁ / (1 - q) | Точна границя суми нескінченної кількості доданків |
| Перетворення періодичного дробу в звичайний | 0.(3) = 3/10 + 3/100 + ... => b₁=0.3, q=0.1 => S = 0.3 / 0.9 = 1/3 | Алгебраїчне обґрунтування запису нескінченних десяткових дробів |
| Перетворення 0.2(6) | 0.2 + 0.06/(1 - 0.1) = 2/10 + 0.06/0.9 = 1/5 + 1/15 = 4/15 | Мішаний нескінченний періодичний десятковий дріб |
| Геометричний парадокс Зенона | Квадрат зі стороною 1 ділиться навпіл: 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1 | Сума нескінченного ряду частин повністю заповнює одиничну площу |
Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії, якщо перший член b₁ = 6, а знаменник q = 1/3.
У зошит (за підручником)
Вправи з підручника до цієї теми уроку. Виконуй у робочий зошит або за комп'ютером за вказівкою вчителя:
Знаходження суми нескінченної спадної геометричної прогресії
💡 Підказка від нас: Перевірити умову |q| < 1 та застосувати формулу S = b₁ / (1 - q).
Перетворення нескінченних періодичних дробів у звичайні
💡 Підказка від нас: Записати дріб 0.(15) як суму 0.15 + 0.0015 + 0.000015... та знайти суму нескінченної прогресії з b₁ = 0.15 і q = 0.01.
Шпаргалка уроку (головне в один екран)
Усе найважливіше для повторення перед уроком або самостійною роботою
Умова збіжності нескінченної геометричної прогресії.
Формула суми нескінченної спадної геометричної прогресії.
Чистий періодичний дріб перетворюється у дріб a / 9.
Дводіапазонний період перетворюється у ab / 99.
Бос-тест: Нескінченна спадна геометрична прогресія
Питання 1 з 3 • Завдай удару по босу теми