Комбінаторні задачі. Комбінаторні правила суми і добутку
👩🏫Методичні акценти для вчителя • План проведення уроку на 45 хвНУШ▼
🎯 Очікувані результати навчання (НУШ):
Формування предметних компетентностей за темою «Комбінаторні задачі. Комбінаторні правила суми і добутку», розвиток критичного мислення, вміння аналізувати причинно-наслідкові зв'язки та застосовувати набуті знання на практиці.
💬 Провокативне питання для старту:
Використайте блок «Гачок (Hook)» нижче для 2-хвилинної розминки з класом перед поясненням нового матеріалу.
⏱️ Рекомендований таймінг 45-хвилинного уроку:
Тема: § 22. Комбінаторні задачі. Комбінаторні правила суми і добутку. Д/з: опрацювати матеріал уроку та завдання «У зошит» на платформі EZZ-SCHOOL BOOKS.
⚡ Фронтальне бліц-опитування класу на початку уроку (2 хв):
- Що є ключовим поняттям теми «Комбінаторні задачі. Комбінаторні правила суми і добутку» і чому воно важливе?
- Де у повсякденному житті, науці чи IT ми стикаємося з цим явищем/алгоритмом?
- Яка найпоширеніша помилка виникає під час першого знайомства з матеріалом?
🏠 Диференційоване домашнє завдання:
- Базовий рівень (обов'язковий): опрацювати конспект і блок «У зошит».
- Достатній рівень: скласти власну шпаргалку та пройти MiniCheck.
- Високий / STEM: виконати симуляцію у лабораторії та скласти BossQuiz на 100 XP.
📊 Критерії формувального оцінювання:
Твоя місія на цей урок
Натискай на цілі у міру їх опанування:
- 1Засвоїти сутність комбінаторики як розділу математики про підрахунок кількості варіантів.Опанувати ➔
- 2Чітко розрізняти логіку правила суми (вибір АБО) та правила добутку (вибір І).Опанувати ➔
- 3Опанувати поняття факторіала числа (n!) та перестановок Pₙ = n!.Опанувати ➔
- 4Розв'язувати задачі на складання цифрових кодів, паролів та розкладів.Опанувати ➔
🔐 Скільки часу хакеру потрібно для злому вашого PIN-коду?
Чотиризначний цифровий PIN-код банківської картки: на кожній із 4 позицій може стояти будь-яка з 10 цифр (від 0 до 9). За правилом добутку комбінаторики це 10 · 10 · 10 · 10 = ровно 10 000 варіантів! Комп'ютер перебере їх за соту частку секунди. Але якщо додати букви — комбінацій стане трильйони!
1Основні правила комбінаторики: правило суми та правило добутку
Комбінаторика — це розділ математики, присвячений розв'язуванню задач про підрахунок кількості можливих комбінацій або варіантів вибору елементів за певними правилами.
Правило суми
Якщо елемент A можна вибрати m способами, а елемент B — n способами (причому вибори взаємовиключні), то вибрати «A або B» можна:
Приклад: На тарілці 5 яблук і 4 груші. Вибрати один будь-який фрукт можна 5 + 4 = 9 способами.
Правило добутку
Якщо елемент A можна вибрати m способами, і після кожного такого вибору елемент B можна вибрати n способами, то пару «A і B» можна вибрати:
Приклад: У гардеробі 3 сорочки та 4 краватки. Скласти комплект із сорочки та краватки можна 3 · 4 = 12 способами.
Правила вибору, експеримент Монте-Карло та вибірка
3Комбінаторика у кібербезпеці: Складність паролів
Чому 4-значний PIN-код легко зламати, а 8-значний пароль — ні?
• 4-значний цифровий PIN: за правилом добутку 10 · 10 · 10 · 10 = 10⁴ = 10 000 варіантів. Комп'ютер перебирає їх за 0.001 секунди.
• 8-значний пароль із малих, великих літер, цифр та спецсимволів (94 символи):
Для перебору такого пароля суперкомп'ютеру знадобляться сотні років!
📊 Опорна таблиця: Правило суми та правило добутку в комбінаториці
| Комбінаторне правило | Логічна операція та формула | Типова життєва ситуація |
|---|---|---|
| Правило суми (або одне, АБО інше) | N = A + B (вибори взаємовиключні) | На полиці 5 детективів і 4 романи. Вибрати одну книгу: 5 + 4 = 9 способів |
| Правило добутку (і перше, І друге) | N = A · B (послідовний вибір) | У меню 3 види піци та 4 напої. Скласти комбо-обід: 3 · 4 = 12 способів |
| Правило перестановки трьох елементів | N = 3 · 2 · 1 = 3! = 6 | Розсадити трьох учнів на три стільці: 6 варіантів |
| Правило складання PIN-кодів | N = 10 · 10 · 10 · 10 = 10⁴ = 10 000 | Кількість варіантів 4-значного коду з повторенням цифр |
| PIN-код без повторення цифр | N = 10 · 9 · 8 · 7 = 5 040 | Кожна наступна цифра обирається з меншої кількості варіантів |
У гардеробі є 3 різні сорочки та 4 різні пари штанів. Скільки різних комплектів одягу можна скласти?
У зошит (за підручником)
Вправи з підручника до цієї теми уроку. Виконуй у робочий зошит або за комп'ютером за вказівкою вчителя:
Застосування правил суми і добутку в комбінаторних задачах
💡 Підказка від нас: Визначити логічний зв'язок (АБО — додавання, І — множення); обчислити кількість трицифрових чисел із заданого набору цифр.
Перестановки n елементів Pₙ = n!
💡 Підказка від нас: Скількома способами можна розсадити 5 учнів за круглим столом або на 5 вільних місцях: P₅ = 5! = 120.
Шпаргалка уроку (головне в один екран)
Усе найважливіше для повторення перед уроком або самостійною роботою
Вибір «A або B»: m + n способів (множини не перетинаються).
Вибір «A і B»: m · n способів.
Добуток усіх натуральних чисел від 1 до n.
Pₙ = n! — кількість способів розмістити n різних елементів у ряд.
Бос-тест: Правила суми та добутку в комбінаториці
Питання 1 з 3 • Завдай удару по босу теми