Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°. Тригонометричні тотожності
👩🏫Методичні акценти для вчителя • План проведення уроку на 45 хвНУШ▼
🎯 Очікувані результати навчання (НУШ):
Формування предметних компетентностей за темою «Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°. Тригонометричні тотожності», розвиток критичного мислення, вміння аналізувати причинно-наслідкові зв'язки та застосовувати набуті знання на практиці.
💬 Провокативне питання для старту:
Використайте блок «Гачок (Hook)» нижче для 2-хвилинної розминки з класом перед поясненням нового матеріалу.
⏱️ Рекомендований таймінг 45-хвилинного уроку:
Тема: § 2. Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°. Тригонометричні тотожності. Д/з: опрацювати матеріал уроку та завдання «У зошит» на платформі EZZ-SCHOOL BOOKS.
⚡ Фронтальне бліц-опитування класу на початку уроку (2 хв):
- Що є ключовим поняттям теми «Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°. Тригонометричні тотожності» і чому воно важливе?
- Де у повсякденному житті, науці чи IT ми стикаємося з цим явищем/алгоритмом?
- Яка найпоширеніша помилка виникає під час першого знайомства з матеріалом?
🏠 Диференційоване домашнє завдання:
- Базовий рівень (обов'язковий): опрацювати конспект і блок «У зошит».
- Достатній рівень: скласти власну шпаргалку та пройти MiniCheck.
- Високий / STEM: виконати симуляцію у лабораторії та скласти BossQuiz на 100 XP.
📊 Критерії формувального оцінювання:
Чому в 9 класі трикутник 'зламався', і як розробники 3D-ігор повертають камеру на 180°?
Твоя місія на цей урок
Натискай на цілі у міру їх опанування:
- 1Зрозуміти одиничне півколо: чому cos α — це вісь X, а sin α — це вісь Y.Опанувати ➔
- 2Опанувати знаки: чому синус тупого кута залишається додатним (+), а косинус стає від'ємним (-).Опанувати ➔
- 3Використовувати формули суміжних кутів sin(180° - α) = sin α та cos(180° - α) = -cos α без зубріння!Опанувати ➔
1Одиничне півколо: як перенести кути в координати
Уяви площину з осями координат OX та OY. Поставимо циркуль у початок координат O(0; 0) і проведемо півколо радіуса R = 1 у верхній півплощині (над віссю X). Таке півколо називають одиничним півколом.
Косинус кута — це горизонтальна координата точки на осі X. Для тупих кутів x стає від'ємним!
Синус кута — це вертикальна висота точки над віссю X. Оскільки півколо зверху, sin α ≥ 0 ЗАВЖДИ!
Тангенс — це відношення синуса до косинуса. Якщо α = 90°, то x = 0, а на нуль ділити не можна!
Інтерактивна тригонометрія від 0° до 180°
Оскільки гіпотенуза OB = 1 (радіус), за теоремою Піфагора x² + y² = 1 завжди!
Запам'ятай на все життя: косинус тупого кута завжди від'ємний! Наприклад, якщо кут трикутника дорівнює 120°, то cos 120° = -cos 60° = -0.5. Якщо ти загубиш цей мінус у теоремі косинусів, уся геометрична задача полетить шкереберть!
Чи може для кута 0° ≤ α ≤ 180° значення sin α дорівнювати -0.5?
2Основні тригонометричні тотожності та формули зведення
Поглянь на трикутник OBC всередині одиничного півкола. Його катети дорівнюють x = cos α та y = sin α, а гіпотенуза OB = 1. За теоремою Піфагора:
Звідси легко виразити одну функцію через іншу:
Формули зведення для суміжних кутів (180° - α)
Суміжні кути на півколі дзеркальні відносно осі Y. Тому їх висота (синус) однакова, а координата X (косинус) змінює знак на протилежний:
- 🔥 sin(180° - α) = sin α (наприклад: sin 150° = sin 30° = 1/2)
- ❄️ cos(180° - α) = -cos α (наприклад: cos 120° = -cos 60° = -1/2)
- ⚡ tg(180° - α) = -tg α (наприклад: tg 135° = -tg 45° = -1)
Тренажер тригонометричних тотожностей
Обчислюй та спрощуй крок за кроком як на ЗНО/НМТ
Оскільки sin² α + cos² α = 1, то sin α = √(1 - cos² α).
sin α = √(1 - (-0.60)²) = √(1 - 0.3600) = 0.800
За означенням: tg α = sin α / cos α.
tg α = 0.800 / (-0.60) = -1.333
Обчисліть усно значення виразу: tg 120° · cos 120° + sin 120°
Шпаргалка: Головне про тригонометричні функції від 0° до 180°
Усе найважливіше для повторення перед уроком або самостійною роботою
• cos α = x (абсциса точки одиничного півкола)
• sin α = y (ордината точки одиничного півкола, завжди ≥ 0!)
• tg α = y/x = sin α / cos α (для α ≠ 90°)
• sin² α + cos² α = 1 (Теорема Піфагора)
• sin(180° - α) = sin α (однакова висота)
• cos(180° - α) = -cos α (протилежний знак!)
• tg(180° - α) = -tg α
| Функція | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sin α | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| cos α | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | -1/2 | -√2/2 | -√3/2 | -1 |
| tg α | 0 | √3/3 | 1 | √3 | не існ. | -√3 | -1 | -√3/3 | 0 |
Самоперевірка (картки знань)
Натискай для перевороту (або Пробіл / ◀ ▶ на клавіатурі)
У зошит (за підручником)
Вправи з підручника до цієї теми уроку. Виконуй у робочий зошит або за комп'ютером за вказівкою вчителя:
Порівняння знаків і значень тригонометричних функцій тупих кутів
💡 Підказка від нас: Кут 140° є суміжним до 40° (180° - 40° = 140°). Синуси суміжних кутів однакові (sin 140° = sin 40°), а косинуси протилежні за знаком (cos 140° = -cos 40°)!
Обчислення виразів із табличними значеннями тупих кутів
💡 Підказка від нас: 1) sin 150° = sin 30° = 1/2, tg 135° = -tg 45° = -1. Отримуємо 1/2 + (-1) = -0.5. 2) cos 150° · sin 120° = (-√3/2) · (√3/2) = -3/4 = -0.75.
Знаходження cos β за відомим sin β для гострого кута
💡 Підказка від нас: З основної тотожності cos² β = 1 - sin² β. Якщо sin β = 3/5, то cos β = √(1 - 9/25) = √(16/25) = 4/5 (зі знаком плюс, бо кут гострий).
Історико-математичний розрахунок: заснування Володимира
💡 Підказка від нас: Обчислюємо: 4 · sin 90° - 2√3 · tg 120° = 4 · 1 - 2√3 · (-√3) = 4 + 2 · 3 = 10. Місто Володимир засновано у X столітті!
Демографічно-математичний розрахунок: населення України
💡 Підказка від нас: Обчислюємо: 8 · sin 150° - √3 · tg 150° = 8 · (1/2) - √3 · (-√3/3) = 4 + 1 = 5. Україна посідає 5-те місце в Європі за чисельністю населення серед найбільших країн!
Спрощення виразів за допомогою формул зведення та тотожностей
💡 Підказка від нас: 1) 1 - sin² α = cos² α; 2) (1 - cos α)(1 + cos α) = 1 - cos² α = sin² α; 3) sin(90° - α) + cos(180° - α) = cos α + (-cos α) = 0.
Знаходження sin α і tg α, якщо відомо від'ємний косинус
💡 Підказка від нас: Якщо cos α = -0.6, кут α є тупим. sin α = √(1 - (-0.6)²) = √0.64 = 0.8 (завжди додатний!). Тоді tg α = sin α / cos α = 0.8 / (-0.6) = -4/3 = -1 1/3.
Доведення геометричної властивості кутів трапеції через косинуси
💡 Підказка від нас: У будь-якій трапеції кути при кожній бічній стороні є внутрішніми односторонніми, отже їхня сума дорівнює 180° (вони суміжні). Оскільки для суміжних кутів cos(180° - α) = -cos α, їхня сума дорівнює 0. Відповідно, сума косинусів усіх чотирьох кутів трапеції завжди дорівнює 0!
Бліц-тест: Майстер тригонометричного півкола
Питання 1 з 6 • Завдай удару по босу теми