EZZ-SCHOOLBOOKS
Гончарук Олександр
Розділ підручника:§ 11• с. 96
§ 11⏱ 25 хвСкладність: ⭐⭐🏆 +100 XPПрограма МОН 100%

Теорема косинусів. Узагальнена теорема Піфагора

За підручником: О. С. Істер, Д. О. Істер. «Геометрія, 9 клас» (Видавництво «Генеза», 2026)• друкована с. 96
Розробник платформи:Гончарук Олександр
👩‍🏫Методичні акценти для вчителя • План проведення уроку на 45 хвНУШ
▼
🎯 Очікувані результати навчання (НУШ):

Формування предметних компетентностей за темою «Теорема косинусів. Узагальнена теорема Піфагора», розвиток критичного мислення, вміння аналізувати причинно-наслідкові зв'язки та застосовувати набуті знання на практиці.

💬 Провокативне питання для старту:

Використайте блок «Гачок (Hook)» нижче для 2-хвилинної розминки з класом перед поясненням нового матеріалу.

⏱️ Рекомендований таймінг 45-хвилинного уроку:
0–5 хв
Гачок & Місія
5–20 хв
Теорія & Інтерактив
20–30 хв
Робота «У зошит»
30–40 хв
Бос-тест уроку
40–45 хв
Рефлексія & XP
📋 Готовий запис для електронного журналу (НЗ.ua / Human / Єдина Школа):

Тема: § 11. Теорема косинусів. Узагальнена теорема Піфагора. Д/з: опрацювати матеріал уроку та завдання «У зошит» на платформі EZZ-SCHOOL BOOKS.

⚡ Фронтальне бліц-опитування класу на початку уроку (2 хв):
  1. Що є ключовим поняттям теми «Теорема косинусів. Узагальнена теорема Піфагора» і чому воно важливе?
  2. Де у повсякденному житті, науці чи IT ми стикаємося з цим явищем/алгоритмом?
  3. Яка найпоширеніша помилка виникає під час першого знайомства з матеріалом?
🏠 Диференційоване домашнє завдання:
  • Базовий рівень (обов'язковий): опрацювати конспект і блок «У зошит».
  • Достатній рівень: скласти власну шпаргалку та пройти MiniCheck.
  • Високий / STEM: виконати симуляцію у лабораторії та скласти BossQuiz на 100 XP.
📊 Критерії формувального оцінювання:
1–6 б: Відтворює означення, виконує вправи за алгоритмом.
7–12 б: Самостійно розв'язує проблеми, аналізує моделі.
🎯

Твоя місія на цей урок

Натискай на цілі у міру їх опанування:

4 цілей
  • 1Довести теорему косинусів: c² = a² + b² - 2ab cos C.
    Опанувати ➔
  • 2Усвідомити теорему Піфагора як окремий випадок теореми косинусів при куті 90° (бо cos 90° = 0).
    Опанувати ➔
  • 3Навчитися знаходити невідому сторону трикутника за двома сторонами і кутом між ними.
    Опанувати ➔
  • 4Опанувати формулу знаходження кута трикутника за трьома сторонами та визначення виду трикутника (гострокутний, прямокутний, тупокутний).
    Опанувати ➔
🎯 Гачок уроку • Вгадай

🗺️ Як триангуляція визначає координати кораблів у морі?

Два берегових маяки знають відстань між собою і вимірюють кути на корабель. За теоремою косинусів комп'ютер миттєво обчислює відстань до судна навіть у суцільному тумані без потреби фізично натягувати вимірювальні канати!

1Теорема косинусів: узагальнена теорема Піфагора

У довільному трикутнику квадрат будь-якої сторони дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними:

a² = b² + c² - 2bc · cos A

Якщо кут A = 90°, то cos 90° = 0, і формула перетворюється на теорему Піфагора: a² = b² + c²!

Знаходження кута за трьома сторонами:

cos A = (b² + c² - a²) / (2bc)

• Якщо чисельник > 0, то кут A гострий.
• Якщо чисельник = 0, кут A прямий.
• Якщо чисельник < 0, кут A тупий!

Властивість діагоналей паралелограма:

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його чотирьох сторін:

d₁² + d₂² = 2(a² + b²)
△
Інтерактивна лабораторія трикутників § 11–14

Теореми косинусів, синусів та формули площі трикутника

A (46°)B (74°)C (60°)a = 6b = 8c = 7.21
Сторона a (CB) = 6
Сторона b (CA) = 8
Кут ∠C (між a і b) = 60°
Результати розрахунків:
Третя сторона c:
7.21
Кути A і B:
∠A=46.1°, ∠B=73.9°
Площа S = ½ab·sin C:
20.78 кв. од.
Радіус описаного кола R:
4.16
Радіус вписаного кола r:
1.96

📐 Опорна таблиця: Теорема косинусів та її наслідки

Твердження / НаслідокМатематична формулаПрактичне застосування
Теорема косинусів для сторони aa² = b² + c² - 2bc · cos αЗнаходження сторони трикутника за двома іншими та кутом між ними
Косинус кута трикутникаcos α = (b² + c² - a²) / (2bc)Знаходження кутів трикутника за трьома відомими сторонами
Гострокутний трикутникa² < b² + c² (для найбільшої сторони a)Всі кути трикутника є гострими
Прямокутний трикутникa² = b² + c² (теорема Піфагора)Кут α = 90°, cos 90° = 0
Тупокутний трикутникa² > b² + c² (для найбільшої сторони a)Кут α є тупим (cos α < 0)
Властивість діагоналей паралелограмаd₁² + d₂² = 2(a² + b²)Сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх його сторін
💡Методичний акцент для уроку: Теорема косинусів дає змогу визначити вид трикутника без обчислення градусної міри кутів.
✓ Швидка перевірка (Mini-Check)

У трикутнику a = 5 см, b = 8 см, ∠C = 60° (cos 60° = 0.5). Знайдіть сторону c.

🗒️

У зошит (за підручником)

Вправи з підручника до цієї теми уроку. Виконуй у робочий зошит або за комп'ютером за вказівкою вчителя:

Домашка • 2 завд.
Вправи 11.1, 11.4 (с. 100)

Застосування теореми косинусів для обчислення невідомої сторони

💡 Підказка від нас: Квадрат сторони дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними: c² = a² + b² - 2ab·cos C.

Вправи 11.7, 11.12 (с. 101)

Знаходження косинуса кута за трьома відомими сторонами

💡 Підказка від нас: Виразіть косинус кута: cos C = (a² + b² - c²) / (2ab). Якщо чисельник > 0 — кут гострий, = 0 — прямий, < 0 — тупий.

📌

Шпаргалка уроку (головне в один екран)

Усе найважливіше для повторення перед уроком або самостійною роботою

👾

Бос-тест: Теорема косинусів та її застосування

Питання 1 з 3 • Завдай удару по босу теми

+100 XP Рахунок: 0/3
❤️ Здоров'я Боса (HP): 100% Питання 1/3

Як записується теорема косинусів для сторони a трикутника ABC?